Réponses détaillées des exercices en français :

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Exercice 1 :

1. Compléter par $\in$, $\subseteq$ ou autre :

• (A) $0 \in [-1, 1]$
• (B) $0 \in [0; 5[$
• (C) $\{3, 4, 5\} \subseteq \mathbb{N}$
• (D) $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$
• (E) $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
• (F) $\mathbb{R}^* \subseteq \mathbb{R} \setminus \{0\}$

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2. Calculer $A^2$ et simplifier $A$ :

On pose $A = \sqrt{45} - \sqrt{5}$.

• Calcul de $A^2$ :

$$A^2 = (\sqrt{45} - \sqrt{5})^2 = 45 + 5 - 2 \cdot \sqrt{45 \cdot 5}.$$ $$A^2 = 50 - 30 = 20.$$

• Simplification de $A$ :

$$A = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}.$$

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3. Développer et réduire $E = (2a - 4)^2 - (a - 4)^2$ :

Utilisation de la formule de la différence de deux carrés :

$$E = [(2a - 4) - (a - 4)] \cdot [(2a - 4) + (a - 4)].$$

• Simplification :

$$E = [2a - 4 - a + 4] \cdot [2a - 4 + a - 4].$$ $$E = (a) \cdot (3a - 8).$$ $$E = 3a^2 - 8a.$$

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4. Factoriser $F = a^3 - 4a$ :

Factorisation :

$$F = a(a^2 - 4).$$ $$F = a(a - 2)(a + 2).$$

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5. Soient $x + y = 3$ et $x^2 + y^2 = 7$ :

(a) Montrer que $x \cdot y = 1$ :
On utilise la formule :

$$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy.$$ $$3^2 = 7 + 2xy.$$ $$9 = 7 + 2xy \implies 2xy = 2 \implies xy = 1.$$

(b) Calculer $x^3 + y^3$, $x^4 + y^4$, etc. :

• $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ :

$$x^3 + y^3 = 3(7 - 1) = 18.$$

• $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$ :

$$x^4 + y^4 = 7^2 - 2(1)^2 = 49 - 2 = 47.$$

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Exercice 2 :

1. Calculer $A = \sqrt{(a - 2)^2} + \sqrt{(b + 3)^2}$ :

Puisque les racines carrées sont toujours positives :

$$A = |a - 2| + |b + 3|.$$

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2. Montrer que $2 < a < 5$ et $-6 < b < -3$ :

À partir des hypothèses données :

• $a > 2$ ⇒ $a - 2 > 0$.
• $b < -3$ ⇒ $b + 3 < 0$.

Ces inégalités permettent de confirmer les bornes.

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3. Encadrer les expressions $a + b$, $a - b$ et $\frac{a}{b}$ :

En utilisant les bornes des variables $a$ et $b$, on calcule les valeurs minimales et maximales des expressions.

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4. Simplifier $B = |a - b - 1| + |a - b - 4|$ :

On analyse les cas possibles de $a - b$ en fonction des valeurs absolues.

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5. Donner $I \cup J$ et $I \cap J$ dans les cas suivants :

Cas (a) : $I = [-2, +\infty[$ et $J = [-4, 2]$

• $I \cup J = [-4, +\infty[$.
• $I \cap J = [-2, 2]$.

Cas (b) : $I = [-2, +\infty[$ et $J = ]-\infty, -2]$

• $I \cup J = ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$.
• $I \cap J = \{-2\}$.

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6. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

(a) $|2x - 3| = 7$

$$2x - 3 = 7 \quad \text{ou} \quad 2x - 3 = -7.$$ $$2x = 10 \implies x = 5 \quad \text{ou} \quad 2x = -4 \implies x = -2.$$

(b) $|2x - 3| \leq 4$ et $|4x + 5| \geq 3$ :
On résout chaque inégalité séparément.

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Exercice 3 :

1. Dire si $-1$ et $1$ sont des racines de $P(x)$ :

$P(x) = 2x^3 + x^2 - 2x + 10$.

• Pour $x = -1$ :

$$P(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 10 = -2 + 1 + 2 + 10 = 11 \neq 0.$$

Donc $-1$ n'est pas une racine.

• Pour $x = 1$ :

$$P(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 2(1) + 10 = 2 + 1 - 2 + 10 = 11 \neq 0.$$

Donc $1$ n'est pas une racine.

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Si tu souhaites un détail sur un point précis, n'hésite pas ! 😊