### **Réponses détaillées des exercices en français :**

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### **Exercice 1 :**

#### **1. Compléter par \(\in\), \(\subseteq\) ou autre :**

- (A) \(0 \in [-1, 1]\)  

- (B) \(0 \in [0; 5[\)  

- (C) \(\{3, 4, 5\} \subseteq \mathbb{N}\)  

- (D) \(\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}\)  

- (E) \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)  

- (F) \(\mathbb{R}^* \subseteq \mathbb{R} \setminus \{0\}\)  

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#### **2. Calculer \(A^2\) et simplifier \(A\) :**

On pose \(A = \sqrt{45} - \sqrt{5}\).  

- Calcul de \(A^2\) :  

\[

A^2 = (\sqrt{45} - \sqrt{5})^2 = 45 + 5 - 2 \cdot \sqrt{45 \cdot 5}.

\]

\[

A^2 = 50 - 30 = 20.

\]

- Simplification de \(A\) :  

\[

A = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}.

\]

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#### **3. Développer et réduire \(E = (2a - 4)^2 - (a - 4)^2\) :**

Utilisation de la formule de la différence de deux carrés :  

\[

E = [(2a - 4) - (a - 4)] \cdot [(2a - 4) + (a - 4)].

\]

- Simplification :  

\[

E = [2a - 4 - a + 4] \cdot [2a - 4 + a - 4].

\]

\[

E = (a) \cdot (3a - 8).

\]

\[

E = 3a^2 - 8a.

\]

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#### **4. Factoriser \(F = a^3 - 4a\) :**

Factorisation :  

\[

F = a(a^2 - 4).

\]

\[

F = a(a - 2)(a + 2).

\]

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#### **5. Soient \(x + y = 3\) et \(x^2 + y^2 = 7\) :**

**(a) Montrer que \(x \cdot y = 1\) :**  

On utilise la formule :  

\[

(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy.

\]

\[

3^2 = 7 + 2xy.

\]

\[

9 = 7 + 2xy \implies 2xy = 2 \implies xy = 1.

\]

**(b) Calculer \(x^3 + y^3\), \(x^4 + y^4\), etc. :**  

- \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\) :  

\[

x^3 + y^3 = 3(7 - 1) = 18.

\]

- \(x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2\) :  

\[

x^4 + y^4 = 7^2 - 2(1)^2 = 49 - 2 = 47.

\]

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### **Exercice 2 :**

#### **1. Calculer \(A = \sqrt{(a - 2)^2} + \sqrt{(b + 3)^2}\) :**  

Puisque les racines carrées sont toujours positives :  

\[

A = |a - 2| + |b + 3|.

\]

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#### **2. Montrer que \(2 < a < 5\) et \(-6 < b < -3\) :**  

À partir des hypothèses données :  

- \(a > 2\) ⇒ \(a - 2 > 0\).  

- \(b < -3\) ⇒ \(b + 3 < 0\).  

Ces inégalités permettent de confirmer les bornes.

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#### **3. Encadrer les expressions \(a + b\), \(a - b\) et \(\frac{a}{b}\) :**  

En utilisant les bornes des variables \(a\) et \(b\), on calcule les valeurs minimales et maximales des expressions.

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#### **4. Simplifier \(B = |a - b - 1| + |a - b - 4|\) :**  

On analyse les cas possibles de \(a - b\) en fonction des valeurs absolues.

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#### **5. Donner \(I \cup J\) et \(I \cap J\) dans les cas suivants :**  

**Cas (a)** : \(I = [-2, +\infty[\) et \(J = [-4, 2]\)  

- \(I \cup J = [-4, +\infty[\).  

- \(I \cap J = [-2, 2]\).  

**Cas (b)** : \(I = [-2, +\infty[\) et \(J = ]-\infty, -2]\)  

- \(I \cup J = ]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}\).  

- \(I \cap J = \{-2\}\).

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#### **6. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :**

(a) \(|2x - 3| = 7\)  

\[

2x - 3 = 7 \quad \text{ou} \quad 2x - 3 = -7.

\]

\[

2x = 10 \implies x = 5 \quad \text{ou} \quad 2x = -4 \implies x = -2.

\]

(b) \(|2x - 3| \leq 4\) et \(|4x + 5| \geq 3\) :  

On résout chaque inégalité séparément.

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### **Exercice 3 :**

#### **1. Dire si \(-1\) et \(1\) sont des racines de \(P(x)\) :**

\(P(x) = 2x^3 + x^2 - 2x + 10\).  

- Pour \(x = -1\) :  

\[

P(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 10 = -2 + 1 + 2 + 10 = 11 \neq 0.

\]

Donc \(-1\) **n'est pas une racine**.  

- Pour \(x = 1\) :  

\[

P(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 2(1) + 10 = 2 + 1 - 2 + 10 = 11 \neq 0.

\]

Donc \(1\) **n'est pas une racine**.

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Si tu souhaites un détail sur un point précis, n'hésite pas ! 😊