exercice corrige triangle et paralleles msth 2ac

 

 

 

Voici les corrections des exercices demandées :

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Exercice 1 :

1) Construire une figure :

Trace un triangle $ABC$. Place $M$ et $N$ aux milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$. Puis place $I$ et $J$ comme milieux respectifs de $[AM]$ et $[AN]$.

2) Sachant que $BC = 6$, calculer $IJ$ :

$I$ et $J$ sont les milieux des segments $[AM]$ et $[AN]$, respectivement. Selon le théorème des milieux, $IJ$ est parallèle à $BC$ et mesure la moitié de sa longueur.
Donc, $IJ = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 6 = 3$.
Réponse : $IJ = 3$.

3) Montrer que $(IJ) \parallel (BC)$ :

D'après le théorème des milieux, $IJ$ est une droite qui relie les milieux des deux segments $[AM]$ et $[AN]$. Par construction, $IJ$ est automatiquement parallèle à $BC$.
Réponse : $(IJ) \parallel (BC)$.

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Exercice 2 :

1) Construire une figure :

Trace un parallélogramme $ABCD$ avec $O$ comme centre. Trace une droite passant par $O$ et parallèle à $[AB]$. Cette droite coupe $[AD]$ en $K$ et $[BC]$ en $T$.

2) Montrer que $K$ et $T$ sont les milieux de $[AD]$ et $[BC]$ :

• $O$ est le centre du parallélogramme, donc il divise les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ en deux parties égales.
• La droite passant par $O$, parallèle à $[AB]$, coupe $[AD]$ et $[BC]$ en leur milieu. Donc, $K$ et $T$ sont les milieux respectifs de $[AD]$ et $[BC]$.
  Réponse : $K$ et $T$ sont les milieux.

3) Montrer que $KO = OT$ :

$K$ et $T$ sont les milieux respectifs de $[AD]$ et $[BC]$. Puisque la droite passant par $O$ est parallèle à $[AB]$, et $O$ est le centre du parallélogramme, les distances $KO$ et $OT$ sont égales.
Réponse : $KO = OT$.

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Exercice 3 :

On a $EF \parallel BC$, donc selon le théorème de Thalès :

$$\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}.$$

Calculs :

• $EF = 5$, $BC = 15$, donc $\frac{EF}{BC} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
  Cela implique que $\frac{AF}{AC} = \frac{1}{3}$.

• On sait que $AF = x - 2$ et $BF = x$, donc $AC = AB = AF + BF = (x - 2) + x = 2x - 2$.

En appliquant $\frac{AF}{AC} = \frac{1}{3}$, on a :

$$\frac{x - 2}{2x - 2} = \frac{1}{3}.$$

Résolution :

Multiplions en croix :

$$3(x - 2) = 2(2x - 2).$$ $$3x - 6 = 4x - 4.$$ $$3x - 4x = -4 + 6.$$ $$-x = 2.$$ $$x = -2.$$

Réponse : $x = -2$.

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Si d'autres clarifications sont nécessaires, n'hésitez pas à demander ! 😊