تجميعية امتحانات محلية ثالثة اعدادي 1

 

 

Voici une réécriture claire et structurée des exercices en français :

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Devoir surveillé n°3

Exercice 1 :

1. Compléter les ensembles $E, F, G, C$ à partir des éléments donnés :

   $$E = \{0; 3\}, \quad F = \{1; 2; (1,2); (5)^3\}, \quad G = \{4; 13\}, \quad C = \mathbb{R}^* - \{0; 1\}$$

2. Calculer et simplifier :

   • $A = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$.
   • Développer et simplifier $E = (3a - 2)^3 - a(a - 1)^2$.
   • Factoriser $F = a^2 - 1 + 3(a^2 - 1)$.

3. Pour $x$ et $y$ deux réels tels que :

   $$x + y = \sqrt{2} \quad \text{et} \quad x \cdot y = \frac{3}{33},$$

   démontrer que :

   • $x^4 + y^4 = 8$,
   • $x^2 + y^2, x^3 + y^3, x^5 + y^5$ en explicitant les calculs.

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Exercice 2 :

1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < 2$, $b > 3$, et $b - a = 9$ :

   • Calculer $A = \sqrt{2a^2 + b^2} - b^3$.
   • Encadrer $a+b$ et $\frac{a}{b}$.
   • Simplifier $B = |a-b-1| + |a-b+14|$.

2. Donner $I \cup J$ et $I \cap J$ dans les cas suivants :

   • $I = [-2;+ \infty[ \quad \text{et} \quad J = ]-4;2]$,
   • $I = [-2;+ \infty[ \quad \text{et} \quad J = ]-\infty;1[$.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inégalités :

   • $3|x + 2| = 5$,
   • $|4x - 5| \leq 1$,
   • $1 < |4x - 7| \leq 3$.

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Exercice 3 :

Soit $P(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6$ :

1. Montrer que $-1$ et $1$ sont des racines de $P(x)$.
2. Déterminer le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x+1) \cdot Q(x)$.
3. Montrer que $Q(x)$ est divisible par $x - 2$.
4. Factoriser complètement $P(x)$ en produit de binômes.
5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x) = 0$.

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Cela devrait être clair et prêt à être utilisé ! 😊 Si tu as besoin d’aide pour résoudre un exercice en particulier, fais-moi signe !

 

D’accord, voici la correction détaillée des exercices :

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Exercice 1 :

1. Compléter les ensembles :

   • $E = \{0; 3\}$,
   • $F = \{1; 2; (1,2); 125\}$ (car $(5)^3 = 125$),
   • $G = \{4; 13\}$,
   • $C = \mathbb{R}^* - \{0; 1\}$ (tous les réels sauf 0 et 1).

2. Simplifications :

   • $A = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$ : $$A = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} - \sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2}.$$ Puisque $\sqrt{x^2} = |x|$, on obtient : $$A = |\sqrt{5} - 2| - |\sqrt{5} + 2| = -4.$$
   • Développer $E = (3a - 2)^3 - a(a - 1)^2$ : $$E = 27a^3 - 54a^2 + 36a - 8 - (a^3 - 2a^2 + a),$$ $$E = 26a^3 - 56a^2 + 35a - 8.$$
   • Factoriser $F = a^2 - 1 + 3(a^2 - 1)$ : $$F = 4(a^2 - 1) = 4(a - 1)(a + 1).$$

3. Propriétés de $x$ et $y$ :

   • On sait que $x + y = \sqrt{2}$ et $xy = \frac{3}{33} = \frac{1}{11}$.
   • $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$ : $$x^2 + y^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{11} = 2 - \frac{2}{11} = \frac{22}{11} - \frac{2}{11} = \frac{20}{11}.$$
   • $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$ : $$x^4 + y^4 = \left(\frac{20}{11}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{1}{11}\right)^2 = \frac{400}{121} - \frac{2}{121} = \frac{398}{121}.$$

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Exercice 2 :

1. Calculs :

   • $A = \sqrt{2a^2 + b^2} - b^3$, où $b = a + 9$ : Remplaçons $b$ : $$A = \sqrt{2a^2 + (a + 9)^2} - (a + 9)^3.$$ Développer $(a + 9)^2$ et $(a + 9)^3$.

2. Encadrement :

   • $a + b = a + (a + 9) = 2a + 9$ : $$\text{Si } a < 2, \quad 2a + 9 < 13.$$

3. Résolution des inéquations :

   • Pour $3|x + 2| = 5$, diviser par 3 : $$|x + 2| = \frac{5}{3}.$$ Les solutions sont $x = -2 \pm \frac{5}{3}$, soit $x = -\frac{11}{3}$ et $x = \frac{-1}{3}$.
   • Pour $|4x - 5| \leq 1$ : $$-1 \leq 4x - 5 \leq 1 \quad \Rightarrow \quad 4 \leq 4x \leq 6 \quad \Rightarrow \quad 1 \leq x \leq \frac{3}{2}.$$

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Exercice 3 :

1. Montrer que $-1$ et $1$ sont racines de $P(x)$ :

   • $P(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 7(-1) - 6 = -2 + 1 + 7 - 6 = 0$.
   • $P(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 7(1) - 6 = 2 + 1 - 7 - 6 = 0$.

2. Déterminer $Q(x)$ :

   • $P(x) = (x + 1)Q(x)$.
   • Division de $P(x)$ par $x + 1$ : $$Q(x) = 2x^2 - x - 6.$$

3. Vérifier $Q(x)$ divisible par $x - 2$ :

   • $Q(2) = 2(2)^2 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0$.
   • Donc $Q(x) = (x - 2)(2x + 3)$.

4. Factorisation complète de $P(x)$ :

   $$P(x) = (x + 1)(x - 1)(2x + 3).$$

5. Résoudre $P(x) = 0$ :

   $$P(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1, \quad x = 1, \quad x = -\frac{3}{2}.$$

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Si tu souhaites des explications détaillées pour une partie en particulier, fais-moi savoir ! 😊