Exercice 1 : Calcul et simplification

Voici les réponses détaillées pour chaque sous-question :

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1. Calculer et simplifier si possible :

a. $A = \frac{4}{3} \times \frac{9}{5}$
Effectuons la multiplication des fractions :

$$A = \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 5} = \frac{36}{15}.$$

Simplifions la fraction en divisant par le PGCD ($3$) :

$$A = \frac{36 \div 3}{15 \div 3} = \frac{12}{5}.$$

Résultat : $A = \frac{12}{5}$.

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b. $B = \frac{6}{-7} \times \frac{-21}{8}$
Effectuons la multiplication :

$$B = \frac{6 \cdot (-21)}{-7 \cdot 8} = \frac{-126}{-56}.$$

Les deux signes négatifs s’annulent :

$$B = \frac{126}{56}.$$

Simplifions la fraction en divisant par le PGCD ($14$) :

$$B = \frac{126 \div 14}{56 \div 14} = \frac{9}{4}.$$

Résultat : $B = \frac{9}{4}$.

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c. $C = \frac{-56}{25} \times \frac{35}{42}$
Effectuons la multiplication des fractions :

$$C = \frac{-56 \cdot 35}{25 \cdot 42} = \frac{-1960}{1050}.$$

Simplifions la fraction en divisant par le PGCD ($70$) :

$$C = \frac{-1960 \div 70}{1050 \div 70} = \frac{-28}{15}.$$

Résultat : $C = \frac{-28}{15}$.

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d. $D = \frac{5}{3} \div \frac{5}{2}$
La division des fractions revient à multiplier par l'inverse :

$$D = \frac{5}{3} \times \frac{2}{5}.$$

Effectuons la multiplication :

$$D = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}.$$

Simplifions en divisant par le PGCD ($5$) :

$$D = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}.$$

Résultat : $D = \frac{2}{3}$.

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e. $E = \frac{-32}{63} \div \frac{-4}{9}$
La division revient à multiplier par l'inverse :

$$E = \frac{-32}{63} \times \frac{-9}{-4}.$$

Simplifions les signes négatifs (multiplication des signes) :

$$E = \frac{32}{63} \times \frac{9}{4}.$$

Effectuons la multiplication :

$$E = \frac{32 \cdot 9}{63 \cdot 4} = \frac{288}{252}.$$

Simplifions en divisant par le PGCD ($36$) :

$$E = \frac{288 \div 36}{252 \div 36} = \frac{8}{7}.$$

Résultat : $E = \frac{8}{7}$.

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f. $F = -\frac{3}{4} \times \frac{9}{16}$
Effectuons la multiplication :

$$F = \frac{-3 \cdot 9}{4 \cdot 16} = \frac{-27}{64}.$$

Résultat : $F = \frac{-27}{64}$.

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g. $G = \frac{1}{2} \times \frac{-5}{2} \times \frac{-1}{2}$
Effectuons la multiplication :

$$G = \frac{1 \cdot (-5) \cdot (-1)}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{5}{8}.$$

Résultat : $G = \frac{5}{8}$.

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h. $H = \frac{7}{9} + \frac{5}{18}$
Pour additionner les fractions, utilisons le même dénominateur :

$$\frac{7}{9} = \frac{14}{18}.$$

Additionnons :

$$H = \frac{14}{18} + \frac{5}{18} = \frac{19}{18}.$$

Résultat : $H = \frac{19}{18}$.

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i. $I = 25 \div \left( \frac{-1}{3} \right) \times \left( -\frac{16}{3} \right)$
Effectuons les étapes :

1. La division par $\frac{-1}{3}$ revient à multiplier par $-3$ :

$$I = 25 \times (-3) \times \left( -\frac{16}{3} \right).$$

2. Effectuons la multiplication des termes :

$$I = -75 \times -\frac{16}{3} = \frac{1200}{3} = 400.$$

Résultat : $I = 400$.

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Exercice 1 - Question 2 : Calculer les puissances

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a. $A = \left( \frac{8}{7} \right)^2$

Appliquons la règle des puissances :

$$A = \frac{8^2}{7^2} = \frac{64}{49}.$$

Réponse : $A = \frac{64}{49}$.

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b. $B = (-5)^4$

Puisque l'exposant $4$ est pair, le résultat sera positif. Effectuons le calcul :

$$B = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625.$$

Réponse : $B = 625$.

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c. $C = (2023)^{2024}$

L'expression reste inchangée car il n'y a pas de simplification évidente. La puissance est un entier positif très grand.

Réponse : $C = (2023)^{2024}$.

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d. $D = \left( \frac{-9}{11} \right)^{-1}$

La puissance $-1$ signifie qu'il faut prendre l'inverse :

$$D = \frac{-11}{9}.$$

Réponse : $D = \frac{-11}{9}$.

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e. $E = \left( \frac{-3}{4} \right)^{-4}$

1. Appliquons la règle des puissances négatives ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$) :

$$E = \frac{1}{\left( \frac{-3}{4} \right)^4}.$$

2. Calculons $\left( \frac{-3}{4} \right)^4$ :

$$\left( \frac{-3}{4} \right)^4 = \frac{(-3)^4}{4^4} = \frac{81}{256}.$$

3. Prenons l'inverse :

$$E = \frac{256}{81}.$$

Réponse : $E = \frac{256}{81}$.

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Exercice 1 - Question 3 : Déterminer le signe de chaque nombre

Pour déterminer le signe, il suffit d'examiner les bases et les exposants.

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a. $(-1)^{244}$

Puisque $244$ est pair, le résultat est positif :

$$(-1)^{244} = +1.$$

Réponse : $+1$.

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b. $(-27)^{53}$

Puisque $53$ est impair, le signe reste négatif :

$$(-27)^{53} = -27^{53}.$$

Réponse : $-$.

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c. $\left( \frac{-1}{3} \right)^{2020}$

Puisque $2020$ est pair, le signe devient positif :

$$\left( \frac{-1}{3} \right)^{2020} = \frac{1}{3^{2020}}.$$

Réponse : $+$.

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d. $17^3$

La base $17$ est positive et les puissances ne changent pas le signe d'un nombre positif.

$$17^3 = +.$$

Réponse : $+$.

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e. $(-8)^3$

Puisque $3$ est impair, le signe reste négatif :

$$(-8)^3 = -512.$$

Réponse : $-$.

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f. $(-6)^{-6}$

L'exposant $-6$ est pair, donc le signe est positif :

$$(-6)^{-6} = \frac{1}{(-6)^6} = +.$$

Réponse : $+$.

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g. $\left( \frac{-9}{11} \right)^{11}$

L'exposant $11$ est impair, donc le signe reste négatif :

$$\left( \frac{-9}{11} \right)^{11} = - \frac{9^{11}}{11^{11}}.$$

Réponse : $-$.

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Avez-vous besoin d'autres précisions ou d'une vérification supplémentaire ? 😊

Réponses détaillées - Exercice 2

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1.

 

2) Construire $A'$ et $B'$, les symétriques respectifs de $A$ et $B$ par rapport à la droite $(d)$

Les symétriques $A'$ et $B'$ se construisent ainsi :

1. Tracez la perpendiculaire de $A$ à la droite $(d)$.
   • Prolongez cette perpendiculaire de l'autre côté de $(d)$ à la même distance que $A$ à $(d)$. Le point obtenu est $A'$.
2. Faites de même pour $B$. Tracez la perpendiculaire de $B$ à $(d)$ et prolongez-la symétriquement. Le point obtenu est $B'$.

Ainsi, $A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$ par rapport à $(d)$.

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3) Montrer que les points $A'$, $B'$, et $M$ sont alignés

• $A$, $M$, et $B$ sont alignés sur le segment $[AB]$, avec $M$ comme milieu.
• La symétrie axiale conserve les alignements, donc $A$, $M$, et $A'$ sont alignés, tout comme $B$, $M$, et $B'$.
• Par conséquent, $A'$, $B'$, et $M$ sont alignés.

Conclusion : Les points $A'$, $B'$, et $M$ sont alignés.

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4.a) Quel est le symétrique du segment $[AB]$ par rapport à la droite $(d)$ ?

Le symétrique du segment $[AB]$ par rapport à $(d)$ est le segment $[A'B']$, qui se trouve de l'autre côté de $(d)$.

• La symétrie conserve les distances, donc :

$$\text{Longueur de } [A'B'] = \text{Longueur de } [AB] = 5 \, \text{cm}.$$

Réponse : Le symétrique de $[AB]$ est $[A'B']$.

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4.b) Montrer que $A'B' = 5 \, \text{cm}$

1. $M$ est le milieu de $[AB]$, donc $AM = MB = 2,5 \, \text{cm}$.
2. Par symétrie, $A'M = MB' = 2,5 \, \text{cm}$.
3. La longueur totale de $[A'B']$ est la somme des deux :

$$A'B' = A'M + MB' = 2,5 + 2,5 = 5 \, \text{cm}.$$

Conclusion : $A'B' = 5 \, \text{cm}$.

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5) Déterminer le symétrique du cercle de centre $A$ et de rayon $2 \, \text{cm}$ par rapport à $(d)$

1. Par symétrie, le centre du cercle $A$ devient le point $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $(d)$.
2. Le rayon du cercle reste inchangé, car la symétrie conserve les distances.

Conclusion : Le symétrique du cercle est un cercle de centre $A'$ et de rayon $2 \, \text{cm}$.

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Résumé des réponses :

• Question 2 : Construction des symétriques $A'$ et $B'$ avec la méthode expliquée.
• Question 3 : Les points $A'$, $B'$, et $M$ sont alignés car la symétrie conserve l'alignement.
• Question 4 :
  • $A'B' = 5 \, \text{cm}$, par conservation des distances.
• Question 5 : Le symétrique du cercle est un cercle de centre $A'$ et de rayon $2 \, \text{cm}$.

Si besoin, je peux fournir un dessin supplémentaire ou détailler davantage ! 😊

Réponses détaillées - Exercice 3

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On considère un triangle $\triangle DEF$, isocèle et rectangle en $F$, avec :

• $EF = 4 \, \text{cm}$,
• Une droite $(DE)$ servant d’axe pour les symétries.

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1) Construire le point $G$, symétrique de $F$ par rapport à la droite $(DE)$

1. Tracez une perpendiculaire de $F$ à la droite $(DE)$.
2. Mesurez la distance de $F$ à $(DE)$.
3. Prolongez cette perpendiculaire de l’autre côté de $(DE)$ à une distance équivalente.
   • Le point obtenu est $G$, symétrique de $F$ par rapport à $(DE)$.

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2) Quel est le symétrique de la droite $(DF)$ par rapport à $(DE)$ ?

La droite $(DF)$ est symétrique par rapport à $(DE)$, donc son image est la droite $(DG)$.

• La symétrie conserve les alignements et les distances, ce qui fait que $(DF)$ et $(DG)$ sont symétriques.

Réponse : Le symétrique de $(DF)$ par rapport à $(DE)$ est $(DG)$.

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3) Quel est le symétrique de la demi-droite $[EF)$ par rapport à $(DE)$ ?

La demi-droite $[EF)$ est symétrique par rapport à $(DE)$.

1. La symétrie conserve les orientations relatives :
   • Le symétrique de $E$ est lui-même (car il appartient à $(DE)$),
   • Le symétrique de $F$ est $G$.
2. Le symétrique de $[EF)$ est la demi-droite $[EG)$.

Réponse : Le symétrique de $[EF)$ par rapport à $(DE)$ est $[EG)$.

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4) Déterminer le symétrique de l’angle $\widehat{DFE}$ par rapport à $(DE)$, et trouver sa mesure.

1. Propriété de symétrie :

   • L'angle $\widehat{DFE}$ est symétrique à l'angle $\widehat{GFE}$ par rapport à $(DE)$.

2. Calcul de l'angle :

   • $\triangle DEF$ est un triangle rectangle en $F$, donc $\widehat{DFE} = 90^\circ$.
   • Par symétrie, le symétrique de $\widehat{DFE}$ est aussi $90^\circ$.

Réponse : Le symétrique de $\widehat{DFE}$ est $\widehat{GFE}$, et sa mesure est $90^\circ$.

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Résumé des réponses :

1. Construction de $G$ : Le point $G$ est obtenu en prolongeant la perpendiculaire à $(DE)$ depuis $F$.
2. Symétrique de $(DF)$ : La droite $(DG)$.
3. Symétrique de $[EF)$ : La demi-droite $[EG)$.
4. Symétrique de $\widehat{DFE}$ : L’angle $\widehat{GFE}$, de mesure $90^\circ$.

Si besoin, je peux générer un dessin pour illustrer ces réponses ! 😊