devoir puissance triangle et parallele 2ac

 

 

 

 

Voici une correction détaillée pour l'Exercice 1.

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1) Calculer :

• $2^4 = 16$
• $0^5 = 0$ (toute puissance de 0, sauf $0^0$, est 0)
• $10^5 = 100000$
• $1^{55} = 1$ (toute puissance de 1 est 1)
• $\left( -\frac{4}{7} \right)^0 = 1$ (tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1)
• $\left( -\frac{5}{3} \right)^1 = -\frac{5}{3}$
• $(-10)^7 = -10000000$ (car la puissance est impaire, le résultat est négatif)
• $(-1)^{78} = 1$ (puissance paire, donc positif)
• $\left( -\frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{9}$ (puissance paire, résultat positif)
• $\left( \frac{2}{3} \right)^{-3} = \frac{27}{8}$ (inverse du cube de $\frac{2}{3}$)
• $2^{-3} = \frac{1}{8}$

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2) Écrire sous forme d'une puissance à exposant différent de 1 et -1 :

• $A = 100000 = 10^5$
• $B = -0.0000001 = -10^{-7}$
• $C = \left( \frac{9}{5} \right)^8 \times \left( \frac{9}{5} \right)^5 = \left( \frac{9}{5} \right)^{8+5} = \left( \frac{9}{5} \right)^{13}$
• $D = \left( \frac{7}{2} \right)^{-8} \times \left( \frac{7}{2} \right)^{-2} = \left( \frac{7}{2} \right)^{-10}$

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Explications complémentaires :

1. Lorsqu’on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants :
   $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

2. Lorsque l’exposant est négatif, on prend l’inverse de la base :
   $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

3. Toute base non nulle élevée à la puissance $0$ donne $1$.

 

Voici une correction détaillée pour l'Exercice 2.

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1) Construire R, le centre de gravité du triangle

Dans un triangle, le centre de gravité (noté $R$) est le point d'intersection des trois médianes. Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé.

Étapes pour construire $R$ :

1. Identifier les milieux :

   • On sait que $D$, $C$, et $K$ sont respectivement les milieux des côtés $[MT]$, $[MN]$, et $[NT]$.

2. Tracer les médianes :

   • La médiane $[MC]$ relie $M$ au milieu $C$ de $[MN]$.
   • La médiane $[DK]$ relie $D$ au milieu $K$ de $[NT]$.
   • La médiane $[RK]$ relie $T$ au milieu $D$ de $[MT]$.

   L'intersection de ces médianes donne $R$, le centre de gravité du triangle.

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2) Compléter les relations de proportionnalité :

Le centre de gravité $R$ divise chaque médiane en deux segments dans un rapport de $2/3$ et $1/3$. Cela signifie que la distance entre le sommet et $R$ est le double de la distance entre $R$ et le milieu du côté opposé.

Relations demandées :

• $MR = \frac{2}{3} MK$ ou $MK = \frac{3}{2} MR$.
• $CR = \frac{2}{3} CT$ ou $CT = \frac{3}{2} CR$.
• $NR = \frac{2}{3} RD$ ou $RD = \frac{3}{2} NR$.

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Explication mathématique :

Le rapport de division des médianes par le centre de gravité découle directement des propriétés des triangles. $R$ est toujours situé à $\frac{2}{3}$ de la longueur de chaque médiane à partir d’un sommet.

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Si vous souhaitez des illustrations ou des précisions supplémentaires, faites-le-moi savoir ! 😊

Voici la correction détaillée pour l'Exercice 3.

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1) Compléter la phrase :

"Les médiatrices d'un triangle se coupent en un seul point appelé : ________________."

Réponse :

Le point où se coupent les médiatrices d’un triangle s’appelle le circoncentre.
Le circoncentre est le centre du cercle circonscrit au triangle (le cercle qui passe par les trois sommets du triangle).

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2) Construire $H$, l’orthocentre du triangle $ACB$

L’orthocentre $H$ est le point d’intersection des trois hauteurs d’un triangle. Une hauteur est une droite perpendiculaire à un côté et passant par le sommet opposé.

Étapes pour construire $H$ :

1. Tracer les hauteurs :

   • La première hauteur passe par le sommet $A$ et est perpendiculaire au côté $[BC]$.
   • La deuxième hauteur passe par le sommet $B$ et est perpendiculaire au côté $[AC]$.
   • La troisième hauteur passe par le sommet $C$ et est perpendiculaire au côté $[AB]$.

2. Identifier $H$ :

   • Le point où ces trois hauteurs se rencontrent est l’orthocentre $H$.

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3) Construire le symétrique de $ACB$ par rapport à $\Delta$

Pour construire le symétrique du triangle $ACB$ par rapport à la droite $\Delta$ :

1. Tracer les perpendiculaires de chaque sommet du triangle ($A$, $B$, et $C$) à la droite $\Delta$.
2. Reporter les points symétriques sur l'autre côté de $\Delta$, en respectant une distance égale de chaque sommet à $\Delta$.
3. Relier ces nouveaux points pour former le triangle symétrique.

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Remarque :

Si vous avez besoin d'une illustration ou d'une vérification de votre construction, n'hésitez pas à demander ! 😊

 

Voici la correction détaillée pour l'Exercice 4.

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Considérons le triangle suivant tel que $M$ et $R$ sont les milieux de $[EF]$ et $[EG]$.

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1) Calculer $FG$ :

D'après la propriété des milieux dans un triangle :

• Si $M$ et $R$ sont les milieux des côtés $[EF]$ et $[EG]$, alors $[MR]$ est parallèle à $[FG]$, et $[MR]$ est égal à la moitié de $[FG]$.

Ainsi :
$MR = 4 \, \text{cm} \quad \Rightarrow \quad FG = 2 \times MR = 2 \times 4 = 8 \, \text{cm}$

Réponse : $FG = 8 \, \text{cm}$.

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2) Montrer que $T$ est le milieu de $[FG]$ :

La droite passant par $M$ et parallèle à $[EG]$ coupe $[FG]$ en $T$.

Justification :

1. $M$ et $R$ sont les milieux des côtés $[EF]$ et $[EG]$.
2. $[MR]$ est une médiane parallèle à la base $[FG]$ (propriété des milieux dans un triangle).
3. La droite passant par $M$, parallèle à $[EG]$, coupe $[FG]$ en son milieu.
   Donc, $T$ est le milieu de $[FG]$.

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3) En déduire que ( (RT) \parallel (EF) :

Puisque :

• $[RT]$ est une partie de la médiane parallèle à la base $[EF]$ (d'après la propriété des milieux),
• Par construction, les droites sont parallèles.

Conclusion : $(RT) \parallel (EF)$.

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Résumé :

• $FG = 8 \, \text{cm}$
• $T$ est le milieu de $[FG]$.
• $(RT) \parallel (EF)$.

Si vous avez des questions ou besoin d'une illustration géométrique, je suis là ! 😊