Voici la correction de l'exercice 1 :


1) Compléter les propriétés des puissances :

  • a0=1a^0 = 1 (pour a0a \neq 0)
  • (an)m=anm(a^n)^m = a^{n \cdot m}
  • 1an=an\frac{1}{a^n} = a^{-n}
  • aman=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}
  • aman=amn\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} (pour a0a \neq 0)
  • (ab)n=anbn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
  • (ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} (pour b0b \neq 0)

2) Écrire les nombres sous la forme ana^n :

  1. A=22×x2×23A = 2^2 \times x^2 \times 2^3
    A=22+3×x2=25×x2A = 2^{2+3} \times x^2 = 2^5 \times x^2.

  2. B=23(75)2B = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{7}{5}\right)^{-2}
    B=23(57)2=232549=50147B = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{25}{49} = \frac{50}{147}.

  3. C=7575757575C = \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{5}
    C=(75)5C = \left(\frac{7}{5}\right)^5.

  4. D=9×x9×66D = 9 \times x^9 \times 6^6
    D=32x9(23)6D = 3^2 \cdot x^9 \cdot (2 \cdot 3)^6
    D=32x92636=32+626x9=3826x9D = 3^2 \cdot x^9 \cdot 2^6 \cdot 3^6 = 3^{2+6} \cdot 2^6 \cdot x^9 = 3^8 \cdot 2^6 \cdot x^9.

  5. E=(27)2(73)8E = \left(\frac{2}{7}\right)^2 \cdot \left(\frac{7}{3}\right)^8
    E=22727838E = \frac{2^2}{7^2} \cdot \frac{7^8}{3^8}
    E=22787238E = \frac{2^2 \cdot 7^8}{7^2 \cdot 3^8}
    E=2278238=227638E = \frac{2^2 \cdot 7^{8-2}}{3^8} = \frac{2^2 \cdot 7^6}{3^8}.

  6. F=(23)4(75)3F = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{7}{5}\right)^{-3}
    F=2434(57)3F = \frac{2^4}{3^4} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^3
    F=24345373=24533473F = \frac{2^4}{3^4} \cdot \frac{5^3}{7^3} = \frac{2^4 \cdot 5^3}{3^4 \cdot 7^3}.

  7. G=(34)5G = \left(\frac{3}{4}\right)^{-5}
    G=(43)5G = \left(\frac{4}{3}\right)^5.

  8. H=(72)3(79)13H = \left(\frac{7}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{-7}{9}\right)^{13}
    H=7323(7)13913H = \frac{7^3}{2^3} \cdot \frac{(-7)^{13}}{9^{13}}
    H=73(7)1323913=73+13(1)13233213H = \frac{7^3 \cdot (-7)^{13}}{2^3 \cdot 9^{13}} = \frac{7^{3+13} \cdot (-1)^{13}}{2^3 \cdot 3^{2 \cdot 13}}
    H=71623326H = \frac{-7^{16}}{2^3 \cdot 3^{26}}.


3) Donner l'écriture scientifique des nombres suivants :

  1. A=5600000A = 5600000
    A=5,6×106A = 5,6 \times 10^6.

  2. B=2530000B = -2530000
    B=2,53×106B = -2,53 \times 10^6.

  3. C=0,01230×107C = 0,01230 \times 10^7
    C=1,23×105C = 1,23 \times 10^5.

  4. D=0,00000267D = 0,00000267
    D=2,67×106D = 2,67 \times 10^{-6}.

  5. E=0,000045×0,457E = 0,000045 \times 0,457
    E=0,000020565E = 0,000020565
    E=2,0565×105E = 2,0565 \times 10^{-5}.


N'hésitez pas à demander des explications ou des précisions ! 😊

Voici la correction de l'exercice 2 :


Énoncé :

On considère un triangle rectangle ABCABC, tel que :

  • AB=5cmAB = 5 \, \text{cm}
  • ABC=50\angle ABC = 50^\circ
  • DD est le symétrique de BB par rapport à AA.

1) Faire une figure :

  • Tracez un triangle rectangle ABCABC, avec :
    • AB=5cmAB = 5 \, \text{cm},
    • ABC=50\angle ABC = 50^\circ,
    • BCBC est l'hypoténuse.
  • Placez DD, le symétrique de BB par rapport à AA. Cela signifie que AA est le milieu de [BD][BD].

2) Montrer que DD est le symétrique de BB par rapport à AA :

  • Par définition, DD est le symétrique de BB par rapport à AA si AA est le milieu de [BD][BD].
  • On montre que AB=AD\vec{AB} = \vec{AD} (même norme, même direction, mais sens opposé).

Si les coordonnées de AA, BB, et DD sont respectivement :

  • A(xA,yA)A(x_A, y_A),
  • B(xB,yB)B(x_B, y_B),
  • D(xD,yD)D(x_D, y_D),

alors :
xA=xB+xD2etyA=yB+yD2x_A = \frac{x_B + x_D}{2} \quad \text{et} \quad y_A = \frac{y_B + y_D}{2}
Ce qui implique :
xD=2xAxBetyD=2yAyB.x_D = 2x_A - x_B \quad \text{et} \quad y_D = 2y_A - y_B.

Ainsi, DD est bien le symétrique de BB par rapport à AA.


3) En déduire la mesure de l'angle CDBCDB :

Dans le triangle ABCABC, ABC=50\angle ABC = 50^\circ, donc BAC=9050=40\angle BAC = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ.

  • DD étant le symétrique de BB par rapport à AA, le triangle ADBADB est isocèle en AA.
  • Par conséquent, CDB=ABC=50\angle CDB = \angle ABC = 50^\circ.

4) Questions supplémentaires :

a) Construire FF, le symétrique de EE par rapport à la droite ACAC :

  • FF est le symétrique de EE par rapport à ACAC. Cela signifie que ACAC est l'axe de symétrie.
  • Tracez la perpendiculaire à ACAC passant par EE.
  • Placez FF de manière symétrique par rapport à ACAC.

b) Montrer que BE=DFBE = DF :

  • Par la définition de la symétrie centrale, DD est le symétrique de BB par rapport à AA, et FF est le symétrique de EE par rapport à ACAC.
  • Les longueurs BEBE et DFDF sont égales par conservation des distances dans la symétrie.

c) Montrer que les points FF, DD, et CC sont alignés :

  • FF et DD sont construits par symétrie par rapport à ACAC, ce qui garantit que les trois points FF, DD, et CC sont alignés sur une même droite.

Si vous avez besoin d'un schéma ou d'une clarification, n'hésitez pas ! 😊

Voici la correction pour l'exercice 3 :


1) Construire un triangle ABCABC tel que :

  • AB=14cmAB = 14 \, \text{cm},
  • AC=10cmAC = 10 \, \text{cm},
  • BC=12cmBC = 12 \, \text{cm}.

Construction :

  • Tracez un segment [AB][AB] de 14 cm.
  • À partir de AA, tracez un arc de cercle de rayon 10 cm (pour AC=10cmAC = 10 \, \text{cm}).
  • À partir de BB, tracez un arc de cercle de rayon 12 cm (pour BC=12cmBC = 12 \, \text{cm}).
  • Le point d’intersection des deux arcs est CC. Reliez les points AA, BB, et CC pour former le triangle.

2) Construire les éléments géométriques du triangle :

  • Médiatrices (en rouge) :
    Les médiatrices sont les droites perpendiculaires passant par les milieux des côtés [AB][AB], [BC][BC], et [AC][AC].

    • Tracez les milieux des côtés.
    • À partir de chaque milieu, tracez une droite perpendiculaire au côté.
  • Médianes (en vert) :
    Les médianes sont les droites passant par un sommet et le milieu du côté opposé.

    • Tracez les milieux des côtés.
    • Reliez chaque sommet au milieu du côté opposé.
  • Hauteurs (en bleu) :
    Les hauteurs sont les droites passant par un sommet et perpendiculaires au côté opposé.

    • Tracez la perpendiculaire issue de chaque sommet au côté opposé ou à son prolongement.
  • Bissectrices (en noir) :
    Les bissectrices sont les droites partageant chaque angle du triangle en deux parties égales.

    • À l’aide d’un compas, tracez la bissectrice de chaque angle.

3) Placer les points spéciaux du triangle :

  • Point GG : Le centre de gravité.
    Le point GG est le point d'intersection des trois médianes.

  • Point OO : Le centre du cercle circonscrit.
    Le point OO est le point d'intersection des trois médiatrices.

  • Point II : Le centre du cercle inscrit.
    Le point II est le point d'intersection des trois bissectrices.

  • Point HH : L'orthocentre.
    Le point HH est le point d'intersection des trois hauteurs.


4) Construire les cercles :

  • Cercle circonscrit :
    Tracez un cercle centré en OO, passant par les sommets AA, BB, et CC.

  • Cercle inscrit :
    Tracez un cercle centré en II, tangent aux trois côtés du triangle ABCABC.


Si vous souhaitez des schémas ou des étapes détaillées supplémentaires, n'hésitez pas à demander ! 😊

 

 

 

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