Voici la correction de l'exercice :

Exercice 1

1) Montrer que $WY = 10$

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $WXY$ :

$$WY^2 = WX^2 + YX^2$$ $$WY^2 = 6^2 + 8^2$$ $$WY^2 = 36 + 64 = 100$$ $$WY = \sqrt{100} = 10$$

Réponse : WY = 10

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2) Vérifier que $\sin(\widehat{WYX}) = \frac{3}{5}$

Le sinus d'un angle dans un triangle rectangle est donné par :

$$\sin(\widehat{WYX}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$$ $$\sin(\widehat{WYX}) = \frac{WX}{WY} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

Réponse : La relation est vérifiée.

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3) Calculer $\cos(\widehat{WYX})$ et $\tan(\widehat{WYX})$

$$\cos(\widehat{WYX}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{YX}{WY} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$ $$\tan(\widehat{WYX}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{WX}{YX} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Réponse : $\cos(\widehat{WYX}) = \frac{4}{5}$, $\tan(\widehat{WYX}) = \frac{3}{4}$

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4) Montrer que WKL est un triangle rectangle tel que $LK = 4$

• $K$ et $L$ sont les milieux respectifs de $WX$ et $YW$.
• $WX = 6$, donc $WK = \frac{6}{2} = 3$.
• $WY = 10$, donc $WL = \frac{10}{2} = 5$.

Le segment $LK$ est obtenu par le théorème de Pythagore :

$$LK = \sqrt{WL^2 - WK^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$

Réponse : $LK = 4$ et le triangle est rectangle.

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Exercice 2

1) Simplifier $A = \sin(33^\circ) - \cos(57^\circ) + \tan(20^\circ) \times \tan(70^\circ)$

• $\cos(57^\circ) = \sin(33^\circ)$ (relation trigonométrique complémentaire).

$$A = \sin(33^\circ) - \sin(33^\circ) + \tan(20^\circ) \times \tan(70^\circ)$$ $$A = 0 + 1 = 1$$

Réponse : $A = 1$

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2) Simplifier $B = \sin^2(73^\circ) + 2\cos^2(72^\circ) + \sin^2(17^\circ) + 2\cos^2(18^\circ)$

Utilisons les identités trigonométriques :

• $\sin(73^\circ) = \cos(17^\circ)$
• $\sin^2(73^\circ) + \sin^2(17^\circ) = 1$
• $\cos^2(72^\circ) + \cos^2(18^\circ) = 1$

$$B = 1 + 2(1) = 3$$

Réponse : $B = 3$

N'hésitez pas si vous avez besoin de précisions ! 😊

Voici la correction détaillée de l'exercice :

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2) Soit $\beta$ tel que $\cos(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

a) Montrer que $\sin(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

En utilisant l'identité fondamentale :

$$\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$$ $$\sin^2(\beta) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2(\beta) + \frac{2}{4} = 1$$ $$\sin^2(\beta) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

En prenant la racine carrée :

$$\sin(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Réponse : $\sin(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

b) En déduire la valeur de $\tan(\beta)$

$$\tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$$

Réponse : $\tan(\beta) = 1$

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3) Montrer que $\cos^2(\alpha) = \frac{1}{1 + \tan^2(\alpha)}$ et $\sin^2(\alpha) = \frac{\tan^2(\alpha)}{1 + \tan^2(\alpha)}$

a) Première identité :

En utilisant :

$$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$ $$\tan^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$$

Divisons l'identité fondamentale par $\cos^2(\alpha)$ :

$$\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + 1 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$$ $$\tan^2(\alpha) + 1 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$$

En inversant :

$$\cos^2(\alpha) = \frac{1}{1 + \tan^2(\alpha)}$$

b) Deuxième identité :

En utilisant l'identité précédente :

$$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$$

Substituons :

$$\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{1 + \tan^2(\alpha)} = \frac{\tan^2(\alpha)}{1 + \tan^2(\alpha)}$$

Réponse : Les deux identités sont démontrées.

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4) Montrer que $\frac{(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))^2 - 1}{1 - \sin^2(\alpha)} = 2\tan(\alpha)$

Développons le numérateur :

$$(\cos(\alpha) + \sin(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) + 2\cos(\alpha)\sin(\alpha) + \sin^2(\alpha)$$

En utilisant $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ :

$$= 1 + 2\cos(\alpha)\sin(\alpha)$$

Substituons dans le numérateur :

$$\frac{1 + 2\cos(\alpha)\sin(\alpha) - 1}{1 - \sin^2(\alpha)} = \frac{2\cos(\alpha)\sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$$

Sachant que $\sin(\alpha) / \cos(\alpha) = \tan(\alpha)$ :

$$= 2 \tan(\alpha)$$

Réponse : L'égalité est démontrée.

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Partie inférieure

1) Compléter les phrases :

• L'angle $ANB$ est un angle inscrit.
• L'angle $AOB$ est un angle au centre.

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2) Trouver les mesures des angles :

L'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.

$$AOB = 2 \times ANB = 2 \times 65^\circ = 130^\circ$$

L'angle complémentaire dans un cercle :

$$ANB + AÔB + AÑB = 360^\circ$$ $$65^\circ + 130^\circ + AÑB = 360^\circ$$ $$AÑB = 360^\circ - 195^\circ = 165^\circ$$

Réponses :

• $ANB = 65^\circ$
• $AÑB = 165^\circ$
• $AOB = 130^\circ$

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N'hésitez pas si vous avez besoin d'une clarification supplémentaire ! 😊